O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram preço máximo de R 15,00 em janeiro e mínimo de R 5,00 em julho. O modelo P(t) = A × (2 × × t/12 ) + B, onde t é o mês (sendo t = 0 para janeiro), foi ajustado para os dados. Com as constantes A e B do modelo ajustado, o preço do quilograma da fruta no mês de março é:

FGV 2025.2Questão 15de 60O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram

MatemáticaFunções trigonométricas

Numeração da prova tipo 1.

O gerente de um supermercado observou que o preço por quilo de uma fruta sazonal segue ciclos anuais. Os dados mostram preço máximo de R$ 15,00 em janeiro e mínimo de R$ 5,00 em julho.

O modelo $P(t) = A \cdot \cos\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot t}{12}\right) + B$ , onde t é o mês (sendo t = 0 para janeiro), foi ajustado para os dados. Com as constantes A e B do modelo ajustado, o preço do quilograma da fruta no mês de março é:

Alternativa A, a correta: 12,5Resposta
Alternativa B: 11,5
Alternativa C: 10,5
Alternativa D: 9,5
Alternativa E: 8,5

Resolução do Jazz

O que a questão pede: o preço da fruta em março, pelo modelo $P(t) = A\cos\left(\frac{2\pi t}{12}\right) + B$ ajustado aos dados.

Passo 1. Usar o máximo em janeiro ( $t = 0$ ):
$\cos 0 = 1$ , então

A + B = 15

Passo 2. Usar o mínimo em julho ( $t = 6$ ):
$\cos\left(\frac{2\pi\cdot 6}{12}\right) = \cos\pi = -1$ , então

-A + B = 5

Passo 3. Resolver o sistema:
Somando as equações: $2B = 20 \Rightarrow B = 10$ . Logo $A = 5$ .

P(t) = 5\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 10

Passo 4. Março ( $t = 2$ ):

P(2) = 5\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 10 = 5\cdot\frac{1}{2} + 10 = 12{,}5

Analisando cada alternativa:
A) Correta. R$ 12,50 o quilograma em março.
B) Incorreta. 11,5 não sai do modelo em nenhum mês inteiro.
C) Incorreta. 10,5 também não sai do modelo.
D) Incorreta. 9,5 não corresponde a nenhum mês.
E) Incorreta. 8,5 também não sai do modelo.

A armadilha: tomar $t = 3$ para março. Como janeiro é $t = 0$ , março é $t = 2$ .

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