FGV 2026.1Questão 1de 60Ao somar os números inteiros de 1 a 10, Carlos Frederico esqueceu de somar um dos números e o resultado que ele

MatemáticaOperações numéricas

Numeração da prova tipo 1.

Ao somar os números inteiros de 1 a 10, Carlos Frederico esqueceu de somar um dos números e o resultado que ele encontrou foi um quadrado perfeito. O número que Carlos Frederico esqueceu de somar foi

Alternativa A: 2
Alternativa B: 3
Alternativa C: 4
Alternativa D: 5
Alternativa E, a correta: 6Resposta

Resolução do Jazz

A estratégia:

Em vez de testar as cinco alternativas uma a uma, o caminho mais curto é descobrir em que faixa o resultado de Carlos Frederico obrigatoriamente caiu. Dentro dessa faixa costuma haver um único quadrado perfeito, e ele entrega a resposta de imediato.

Etapa 1. A soma correta:

A soma dos inteiros de 1 a 10 pode ser feita pela fórmula da soma de uma progressão aritmética:

S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1 + 10) \cdot 10}{2}

S = \frac{110}{2} = \mathbf{55}

Ou, se preferir, pelo emparelhamento clássico:

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 \times 5 = 55 \quad\checkmark

Etapa 2. A faixa em que o resultado errado caiu:

Chamando de $n$ o número esquecido, o resultado obtido foi:

S_{\text{errado}} = 55 - n, \quad \text{com } 1 \le n \le 10

Os extremos dessa faixa saem dos casos em que ele esqueceu o maior e o menor dos números:

\text{esquecendo o 10}: \; 55 - 10 = 45 \quad (\text{o menor resultado possível})

\text{esquecendo o 1}: \; 55 - 1 = 54 \quad (\text{o maior resultado possível})

\Longrightarrow \; 45 \le S_{\text{errado}} \le 54

Etapa 3. O único quadrado perfeito na faixa:

Listando os quadrados perfeitos em volta desse intervalo:

Número	Quadrado	Está entre 45 e 54?
$6^2$	36	não, é menor que 45
$\mathbf{7^2}$	$\mathbf{49}$	sim $\checkmark$
$8^2$	64	não, é maior que 54

Só existe um quadrado perfeito possível: 49.

Etapa 4. O número esquecido:

55 - n = 49

n = 55 - 49 = \mathbf{6}

Etapa 5. A conferência exaustiva:

Como são apenas dez casos, vale testar todos e confirmar que a solução é única:

Número esquecido	Resultado $55 - n$	É quadrado perfeito?
1	54	não
2	53	não
3	52	não
4	51	não
5	50	não, está entre $7^2 = 49$ e $8^2 = 64$
6	49	sim, $= 7^2$ $\checkmark$
7	48	não
8	47	não
9	46	não
10	45	não

Um detalhe que engana: 50 não é quadrado perfeito. Ele é o dobro de 25, e $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ não é inteiro. Quadrado perfeito é o quadrado de um número inteiro, e entre 49 e 64 não existe nenhum.

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. Esquecendo o 2, o resultado seria 53, que não é quadrado perfeito.

B) Incorreta. Esquecendo o 3, o resultado seria 52.

C) Incorreta. Esquecendo o 4, o resultado seria 51.

D) Incorreta. Esquecendo o 5, o resultado seria 50, próximo de 49, mas $\sqrt{50}$ não é inteiro.

E) Correta. Esquecendo o 6, o resultado é $55 - 6 = 49 = 7^{2}$ .

Conferindo a alternativa:
O único quadrado perfeito entre 45 e 54 é 49, e $55 - 49 = 6$ , alternativa E.

Confere com o gabarito oficial preliminar da FGV. Ver o caderno da banca

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