Insper 2025.2Questão 24de 60No plano, as semirretas r e s, de origem O, tangenciam uma circunferência nos pontos P e Q, conforme mostra a figura

MatemáticaCírculo e circunferência

No plano, as semirretas r e s, de origem O, tangenciam uma circunferência nos pontos P e Q, conforme mostra a figura. Um ponto R, sobre a circunferência, é tal que o segmento PR é paralelo à reta s.

Sabendo que o setor circular S tem 110,5 cm² de área, a área do círculo determinado por essa circunferência é

Alternativa A: 302 cm².
Alternativa B, a correta: 306 cm².Resposta
Alternativa C: 310 cm².
Alternativa D: 314 cm².
Alternativa E: 318 cm².

Resolução do Jazz

A estratégia:

Descobrir o ângulo central do setor S. A área do setor dá a área do círculo por proporção.

Etapa 1. O ângulo entre os raios de P e Q:

Os raios são perpendiculares às tangentes. No quadrilátero formado por O, P, o centro e Q, os ângulos somam $360^\circ$ :

360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ

Etapa 2. O ângulo do setor S:

O raio até Q é perpendicular a s. Como PR é paralelo a s, esse raio também é perpendicular à corda PR, e por isso a corta ao meio: os arcos PQ e QR são iguais. O setor S, entre os raios de R e de Q, também tem $130^\circ$ .

Etapa 3. A área do círculo:

\frac{130}{360} \cdot A = 110{,}5 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{110{,}5 \cdot 360}{130} = 306 \text{ cm}^2

A armadilha:

Usar os $50^\circ$ como ângulo central. O ângulo entre as tangentes e o ângulo central somam $180^\circ$ .

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