No plano, o ponto D pertence ao lado AC do triângulo ABC, e o lado AE do triângulo ADE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, conforme mostra a figura. Sabendo que AC = 15 cm, que o lado AB mede 8 cm a mais do que o lado DE e que o perímetro do triângulo ABC excede em 32 cm o perímetro do triângulo ADE, a medida do segmento CD é igual a

Insper 2025.2Questão 28de 60No plano, o ponto D pertence ao lado AC do triângulo ABC, e o lado AE do triângulo ADE é paralelo ao lado BC

MatemáticaSemelhança e congruência de triângulos

No plano, o ponto D pertence ao lado AC do triângulo ABC, e o lado AE do triângulo ADE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, conforme mostra a figura.

fora de escala

Sabendo que AC = 15 cm, que o lado AB mede 8 cm a mais do que o lado DE e que o perímetro do triângulo ABC excede em 32 cm o perímetro do triângulo ADE, a medida do segmento CD é igual a

Alternativa A: 12 cm.
Alternativa B: 10 cm.
Alternativa C: 9 cm.
Alternativa D, a correta: 8 cm.Resposta
Alternativa E: 6 cm.

Resolução do Jazz

A estratégia:

Como AE é paralelo a BC, os triângulos ABC e EDA têm os mesmos ângulos. A razão de semelhança sai de AC e AE.

Etapa 1. A semelhança:

Os dois triângulos têm o ângulo $\alpha$ (em A no ABC, em E no ADE). E o ângulo $E\hat{A}D$ é igual a $A\hat{C}B$ , alternos internos pelas paralelas AE e BC. A correspondência é A com E, C com A, B com D.

k = \frac{AC}{EA} = \frac{15}{5} = 3

Etapa 2. DE e AB:

AB = 3 \cdot DE \quad\text{e}\quad AB = DE + 8 \quad\Longrightarrow\quad DE = 4, \; AB = 12

Etapa 3. AD pelo perímetro:

O perímetro de ABC é o triplo do de ADE, então a diferença é o dobro do perímetro de ADE:

2 \cdot P_{ADE} = 32 \quad\Longrightarrow\quad P_{ADE} = 16 \quad\Longrightarrow\quad AD = 16 - 5 - 4 = 7

Etapa 4. CD:

CD = AC - AD = 15 - 7 = 8 \text{ cm}

A armadilha:

Corresponder A com A. O ângulo $\alpha$ fica em A num triângulo e em E no outro: é ele que manda na correspondência.

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