FGV 2026.1Questão 12de 60Um grupo de alunos vai competir com um grupo de professores em um concurso de perguntas e respostas. São 11 pessoas

A estratégia:

Há duas incógnitas escondidas além da idade de Rubens: quantos alunos e quantos professores formam os dois grupos. O enunciado só informa que juntos somam 11. O caminho é escrever a idade de Rubens de duas maneiras diferentes, uma por cada grupo, e igualá-las.

Nomeando as variáveis:

Etapa 1. A condição do grupo de alunos:

A média de idade é a soma das idades dividida pela quantidade de pessoas. Com $a$ alunos de média 14, a soma das idades vale:

Entrando Rubens, o grupo passa a ter $a + 1$ pessoas e média 16:

Etapa 2. A condição do grupo de professores:

Com $p$ professores de média 52, a soma vale $52p$. Entrando Rubens, a média cai para 48:

Repare no sinal: aqui $R$ diminui conforme o grupo cresce, o oposto do que ocorre com os alunos. Faz sentido, porque Rubens puxa a média para baixo entre os professores e para cima entre os alunos.

Etapa 3. O sistema:

Igualando as duas expressões de $R$:

Dividindo tudo por 2:

Junto com a informação do enunciado, forma-se o sistema:

Subtraindo a primeira equação da segunda:

Etapa 4. A idade de Rubens:

Substituindo em qualquer uma das duas expressões:

Pela outra:

Etapa 5. A conferência completa:

Vale refazer as duas médias com os números encontrados:

E a checagem do total: $6 + 5 = 11$ pessoas, como o enunciado informa.

Etapa 6. Por que a idade de Rubens não é a média das médias:

Um erro tentador é calcular a média entre 16 e 48, ou entre 14 e 52. Nada disso funciona, porque o impacto de uma pessoa nova sobre a média depende do tamanho do grupo. Rubens sozinho eleva a média dos 6 alunos em 2 anos justamente por estar 12 anos acima dela ($28 - 16 = 12$, distribuídos entre as 7 pessoas: $12 / 7 \approx 1{,}7$, somados aos 14 originais). É o tamanho do grupo, e não a distância entre as médias, que fecha a conta.

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. Com 22 anos, o grupo de 6 alunos passaria a ter média $(84 + 22)/7 \approx 15{,}1$ anos, e não 16.

B) Incorreta. Com 24 anos, a média dos alunos ficaria em $(84 + 24)/7 \approx 15{,}4$ anos.

C) Correta. $R = 2a + 16 = 48 - 4p$ com $a + p = 11$ resulta em $a = 6$, $p = 5$ e $R = 28$ anos.

D) Incorreta. Com 30 anos, a média dos professores cairia para $(260 + 30)/6 \approx 48{,}3$ anos, e a dos alunos subiria para $(84+30)/7 \approx 16{,}3$, nenhuma das duas bate.

E) Incorreta. Com 32 anos, a média dos alunos passaria de 16,5 anos.

Conferindo a alternativa:
O sistema devolve 6 alunos e 5 professores, e as duas expressões dão 28 anos, alternativa C.