FGV 2026.1Questão 11de 60Rafael é o projetista de uma nova sala de escape room e está montando o enigma final, que consiste em um feixe de laser

MatemáticaPotenciação

Numeração da prova tipo 1.

Rafael é o projetista de uma nova sala de escape room e está montando o enigma final, que consiste em um feixe de laser viajando em zigue-zague ao refletir sucessivamente em uma série de espelhos paralelos. Ele sabe que a cada reflexão, o espelho absorve e espalha cerca de 10% da energia luminosa, refletindo apenas os 90% restantes para o próximo espelho da fila. Para que o enigma funcione e a porta se abra, o fotossensor posicionado no final do labirinto precisa receber pelo menos 1% da energia inicial do laser emitido pelo canhão. Considerando a aproximação $\log_{10} 3 \approx 0{,}48$ , o número máximo de espelhos que Rafael pode colocar no trajeto do laser para garantir que a energia final não fique abaixo desse limite de 1% é

Alternativa A: 20
Alternativa B: 40
Alternativa C, a correta: 50Resposta
Alternativa D: 80
Alternativa E: 100

Resolução do Jazz

A modelagem:

Cada reflexão preserva 90% da energia que chegou. Como o efeito é multiplicativo e se repete a cada espelho, a energia após $n$ espelhos segue um decaimento exponencial:

E_n = E_0 \cdot (0{,}9)^{n}

A condição imposta pelo enigma é que o fotossensor receba pelo menos 1% da energia inicial:

E_0 \cdot (0{,}9)^{n} \ge 0{,}01 \cdot E_0

Como $E_0$ é positivo, ele se cancela dos dois lados, e é por isso que o valor da energia inicial nunca precisa ser conhecido:

(0{,}9)^{n} \ge 0{,}01

Etapa 1. Aplicando o logaritmo:

Tomando o logaritmo decimal dos dois lados:

\log (0{,}9)^{n} \ge \log 0{,}01

n \cdot \log 0{,}9 \ge \log 0{,}01

Etapa 2. Calculando cada logaritmo:

O do lado direito é imediato, pois $0{,}01 = 10^{-2}$ :

\log 0{,}01 = \log 10^{-2} = \mathbf{-2}

O do lado esquerdo exige o dado do enunciado. Escrevendo $0{,}9$ como fração:

\log 0{,}9 = \log \frac{9}{10} = \log 9 - \log 10

\log 9 = \log 3^{2} = 2 \log 3 = 2 \times 0{,}48 = 0{,}96

\log 10 = 1

\log 0{,}9 = 0{,}96 - 1 = \mathbf{-0{,}04}

O sinal negativo era esperado: $0{,}9$ é menor que 1, e o logaritmo de qualquer número entre 0 e 1 é negativo.

Etapa 3. Resolvendo a inequação (com atenção ao sinal):

n \times (-0{,}04) \ge -2

Ao dividir os dois lados por um número negativo, a desigualdade inverte o sentido:

n \le \frac{-2}{-0{,}04}

n \le \frac{2}{0{,}04}

n \le \frac{200}{4} = \mathbf{50}

Esse é o passo mais delicado da questão. Quem esquece de inverter o sinal conclui $n \ge 50$ e passa a procurar o maior valor entre as alternativas, chegando a 100.

Etapa 4. Interpretando o resultado:

n_{\text{máx}} = \mathbf{50}\ \text{espelhos}

Com 50 espelhos, a energia que chega ao sensor é exatamente 1% da inicial, e o enunciado admite esse caso, pois pede "pelo menos 1%". Com 51 espelhos, ela cairia abaixo do limite e o enigma deixaria de funcionar.

Etapa 5. A conferência nos valores próximos:

Usando $\log$ para calcular a energia restante em cada cenário:

$n$	$n \cdot \log 0{,}9$	Energia restante	Atende ao limite de 1%?
20	$-0{,}8$	$10^{-0,8} \approx 15{,}8\%$	sim, mas sobra muita margem
40	$-1{,}6$	$10^{-1,6} \approx 2{,}5\%$	sim
50	$\mathbf{-2{,}0}$	$\mathbf{1{,}0\%}$	sim, no limite exato $\checkmark$
51	$-2{,}04$	$\approx 0{,}91\%$	não
80	$-3{,}2$	$\approx 0{,}06\%$	não
100	$-4{,}0$	$0{,}01\%$	não

Todas as alternativas abaixo de 50 funcionam, mas a pergunta é pelo número máximo.

Etapa 6. A leitura física do decaimento:

Perder 10% por reflexão parece pouco, mas o efeito é composto: após 50 espelhos resta apenas um centésimo da luz original. É o mesmo princípio dos juros compostos, com a taxa negativa, pequenas perdas percentuais repetidas produzem quedas drásticas no acumulado.

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. Com 20 espelhos ainda sobrariam cerca de 15,8% da energia. Funciona, mas está longe do máximo.

B) Incorreta. Com 40 espelhos restariam cerca de 2,5%. Também funciona, mas não é o teto.

C) Correta. $n \le 2 / 0{,}04 = 50$ , e o valor máximo permitido é justamente 50.

D) Incorreta. Com 80 espelhos a energia cairia para cerca de 0,06%, abaixo do limite exigido.

E) Incorreta. Com 100 espelhos restaria $0{,}01\%$ , cem vezes menos que o mínimo. É o valor obtido por quem esquece de inverter a desigualdade ao dividir por um número negativo e passa a procurar o maior valor da lista.

Conferindo a alternativa:
De $(0{,}9)^n \ge 0{,}01$ sai $n \le 50$ , e o número máximo de espelhos é 50, alternativa C.

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