FGV 2026.1Questão 9de 60Certa fábrica produz cones de papel rígido para servir porções de castanhas artesanais. O projeto exige que cada cone

MatemáticaCones

Numeração da prova tipo 1.

Certa fábrica produz cones de papel rígido para servir porções de castanhas artesanais. O projeto exige que cada cone (que é aberto no topo, sem tampa) tenha exatamente 8 cm de altura e um raio de base de 6 cm. O processo de corte da fábrica funciona da seguinte maneira: a máquina recebe uma folha quadrada de papel de 20 cm de lado e recorta dela o molde exato de um cone planificado. Todo o papel que sobra dessa folha é descartado. A equipe de produção quer saber quanto papel está sendo desperdiçado.

Utilizando a aproximação $\pi = 3$ , o percentual da área da folha quadrada original que será descartado é

Alternativa A: 40%
Alternativa B: 45%
Alternativa C: 48%
Alternativa D: 50%
Alternativa E, a correta: 55%Resposta

Resolução do Jazz

Dados: cone aberto no topo (sem tampa), com altura $h = 8$ cm e raio da base $r = 6$ cm, recortado de uma folha quadrada de lado $20$ cm, com $\pi = 3$ . Pede-se a porcentagem da área da folha que é descartada.

O que a máquina recorta:

O cone serve castanhas com a boca para cima, e essa boca é justamente o círculo da base, que fica aberto. Então o molde é só a superfície lateral do cone, que planificada vira um setor circular: o raio do setor é a geratriz $g$ do cone e o arco do setor tem o comprimento da circunferência da base.

A geratriz pelo teorema de Pitágoras:

A altura, o raio da base e a geratriz formam um triângulo retângulo, com a geratriz na hipotenusa:

g^2 = h^2 + r^2

g^2 = 8^2 + 6^2

g^2 = 64 + 36

g^2 = 100

g = 10 \ \text{cm}

A área do molde (setor circular):

O setor é uma fração do círculo de raio $g$ . Essa fração é a razão entre o arco do setor (a circunferência da base, $2\pi r$ ) e a circunferência inteira de raio $g$ ( $2\pi g$ ):

\dfrac{2\pi r}{2\pi g} = \dfrac{r}{g}

\dfrac{r}{g} = \dfrac{6}{10}

A área do setor é essa fração da área do círculo de raio $g$ :

A_L = \dfrac{6}{10} \cdot \pi g^2

A_L = \dfrac{6}{10} \cdot 3 \cdot 10^2

A_L = \dfrac{6}{10} \cdot 300

A_L = 180 \ \text{cm}^2

É a fórmula da área lateral do cone, $A_L = \pi r g = 3 \cdot 6 \cdot 10 = 180 \ \text{cm}^2$ . O molde cabe na folha: o setor tem raio $10$ cm, e o círculo de raio $10$ cm é inscrito no quadrado de lado $20$ cm.

A área descartada:

A_{\text{folha}} = 20^2

A_{\text{folha}} = 400 \ \text{cm}^2

A_{\text{descartada}} = 400 - 180

A_{\text{descartada}} = 220 \ \text{cm}^2

A porcentagem descartada:

\dfrac{220}{400} = \dfrac{55}{100}

\dfrac{55}{100} = 55\%

Se alguém incluísse o círculo da base no molde (cone com tampa), o molde teria $180 + 3 \cdot 6^2 = 288 \ \text{cm}^2$ e o descarte seria $28\%$ , valor que nem aparece nas alternativas: é o sinal de que a base não entra.

Conferindo a alternativa:

A) $40\%$ : sai de quem troca o raio pela altura na área lateral, $3 \cdot 8 \cdot 10 = 240 \ \text{cm}^2$ , e $\dfrac{400 - 240}{400} = 40\%$ . Incorreta.

B) $45\%$ : é $\dfrac{180}{400}$ , a parte da folha que vira cone (aproveitada), e não a descartada. Incorreta.

C) $48\%$ : exigiria um molde de $208 \ \text{cm}^2$ , que não sai dos dados. Incorreta.

D) $50\%$ : exigiria um molde de $200 \ \text{cm}^2$ , metade da folha. Incorreta.

E) $55\%$ : descarte de $220$ dos $400 \ \text{cm}^2$ da folha. Correta.

O resultado, $55\%$ , corresponde à alternativa E.

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