FGV 2026.1Questão 13de 60A reta de equação y = ax + 1 divide a região quadrangular definida por 0 x 4 e 0 y 4 em duas regiões de mesma área

MatemáticaQuadriláteros e Polígonos

Numeração da prova tipo 1.

A reta de equação $y = ax + 1$ divide a região quadrangular definida por $0 \le x \le 4$ e $0 \le y \le 4$ em duas regiões de mesma área.

O valor de $a$ é

Alternativa A: 1/4
Alternativa B: 1/3
Alternativa C, a correta: 1/2Resposta
Alternativa D: 3/4
Alternativa E: 3/2

Resolução do Jazz

A região em questão:

As condições $0 \le x \le 4$ e $0 \le y \le 4$ definem um quadrado de lado 4, com vértices em $(0;0)$ , $(4;0)$ , $(4;4)$ e $(0;4)$ :

A_{\text{quadrado}} = 4 \times 4 = 16

Se a reta divide o quadrado em duas partes iguais, cada uma tem área:

\frac{16}{2} = \mathbf{8}

Etapa 1. A propriedade que resolve a questão em uma linha:

Toda figura com centro de simetria é dividida em duas partes de mesma área por qualquer reta que passe por esse centro. O quadrado tem centro de simetria no encontro das diagonais:

\text{centro} = \left(\frac{0 + 4}{2};\ \frac{0 + 4}{2}\right) = (2;\ 2)

A razão é direta: a rotação de 180° em torno do centro leva o quadrado nele mesmo e troca de lugar as duas partes determinadas pela reta. Sendo congruentes, elas têm a mesma área.

Logo, a reta $y = ax + 1$ precisa passar por $(2;\ 2)$ :

2 = a \cdot 2 + 1

2a = 1

a = \mathbf{\frac{1}{2}}

Etapa 2. A verificação pela área, sem usar a simetria:

Vale confirmar o resultado calculando diretamente a área abaixo da reta. Com $a = 1/2$ , a reta é:

y = \frac{x}{2} + 1

Onde ela entra e sai do quadrado:

x = 0 \;\Rightarrow\; y = 1 \qquad\qquad x = 4 \;\Rightarrow\; y = \frac{4}{2} + 1 = 3

Como $1$ e $3$ estão ambos dentro de $[0;\ 4]$ , a reta atravessa o quadrado de lado a lado, cortando os lados verticais, e não o topo nem a base.

A região abaixo da reta é um trapézio de bases verticais 1 e 3 e altura horizontal 4:

A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(3 + 1) \times 4}{2}

A = \frac{16}{2} = \mathbf{8} \quad\checkmark

Exatamente metade do quadrado, confirmando o valor de $a$ .

Etapa 3. O formato geral e por que só um valor serve:

Enquanto a reta cortar os dois lados verticais, a área abaixo dela é o trapézio de bases $y(0) = 1$ e $y(4) = 4a + 1$ :

A(a) = \frac{\left[1 + (4a + 1)\right] \times 4}{2} = \frac{(4a + 2) \times 4}{2} = 8a + 4

Impondo a condição do enunciado:

8a + 4 = 8

8a = 4 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2} \quad\checkmark

A expressão $A(a) = 8a + 4$ é estritamente crescente, o que garante que a solução é única.

Etapa 4. Testando cada alternativa:

Alternativa	$a$	$y(4) = 4a + 1$	A reta sai pelo topo?	Área abaixo
A	$1/4$	2	não	$8(0{,}25) + 4 = 6$
B	$1/3$	$7/3 \approx 2{,}33$	não	$8/3 + 4 \approx 6{,}67$
C	$\mathbf{1/2}$	3	não	$\mathbf{8}$ $\checkmark$
D	$3/4$	4	toca o vértice $(4;4)$	$8(0{,}75) + 4 = 10$
E	$3/2$	7	sim, em $x = 2$	13

Só a alternativa C produz as duas metades de área 8.

Um cuidado sobre a alternativa E: com $a = 3/2$ a reta sai pelo topo do quadrado (em $y = 4$ , quando $x = 2$ ), de modo que a fórmula do trapézio deixa de valer. A área abaixo passa a ser um trapézio de 0 a 2, com bases 1 e 4, somado ao retângulo de 2 a 4:

\frac{(1 + 4) \times 2}{2} + (2 \times 4) = 5 + 8 = 13

Etapa 5. A leitura geométrica:

A reta $y = ax + 1$ tem coeficiente linear fixo em 1, ou seja, ela é presa ao ponto $(0;\ 1)$ e só pode girar em torno dele. Entre todas as inclinações possíveis, existe uma única que a faz passar também pelo centro $(2;\ 2)$ , e essa é a que reparte o quadrado igualmente. O coeficiente angular necessário é a inclinação do segmento que liga esses dois pontos:

a = \frac{2 - 1}{2 - 0} = \frac{1}{2} \quad\checkmark

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. A reta passaria por $(2;\ 1{,}5)$ , abaixo do centro, deixando área 6 na parte de baixo.

B) Incorreta. A reta passaria por $(2;\ 5/3)$ , também abaixo do centro, com área de aproximadamente 6,67.

C) Correta. A reta $y = x/2 + 1$ passa pelo centro $(2;\ 2)$ e deixa um trapézio de área 8 em cada lado.

D) Incorreta. A reta passaria por $(2;\ 2{,}5)$ , acima do centro, deixando área 10 abaixo dela.

E) Incorreta. A reta é inclinada demais e sai pelo topo do quadrado, deixando área 13 abaixo dela.

Conferindo a alternativa:
A reta precisa passar pelo centro $(2;\ 2)$ do quadrado, o que exige $a = 1/2$ , alternativa C.

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