FGV 2026.1Questão 14de 60Considere as permutações das 7 letras da palavra JANEIRO. Sorteia-se aleatoriamente uma dessas permutações

MatemáticaAnálise combinatória

Numeração da prova tipo 1.

Considere as permutações das 7 letras da palavra JANEIRO. Sorteia-se aleatoriamente uma dessas permutações. A probabilidade de que exatamente 5 das 7 letras estejam nas mesmas posições em que estavam na palavra JANEIRO é

Alternativa A: 1/260
Alternativa B, a correta: 1/240Resposta
Alternativa C: 1/230
Alternativa D: 1/220
Alternativa E: 1/210

Resolução do Jazz

Montando a probabilidade:

P = \frac{\text{número de permutações com exatamente 5 letras fixas}}{\text{número total de permutações}}

Etapa 1. O total de permutações:

A palavra JANEIRO tem 7 letras, e todas são distintas:

\text{J} \quad \text{A} \quad \text{N} \quad \text{E} \quad \text{I} \quad \text{R} \quad \text{O}

Sem letras repetidas, o total é a permutação simples de 7 elementos:

n_{\text{total}} = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

7! = \mathbf{5\,040}

Etapa 2. O que significa "exatamente 5 letras fixas":

Se 5 letras permanecem em suas posições originais, as outras 2 necessariamente não estão nas suas. Ou seja, é preciso contar de quantas formas se pode:

escolher quais 5 letras ficam paradas, o que equivale a escolher quais 2 se mexem;
rearranjar essas 2 letras de modo que nenhuma delas volte ao lugar original.

Etapa 3. Escolhendo as duas letras que se mexem:

A ordem da escolha não importa (escolher "J e A" é o mesmo que "A e J"), então é uma combinação:

C_{7,2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1}

C_{7,2} = \frac{42}{2} = \mathbf{21}\ \text{escolhas}

Etapa 4. Rearranjando essas duas letras:

Escolhidas as duas posições, há apenas duas maneiras de preenchê-las: manter cada letra onde estava, ou trocá-las entre si. A primeira está descartada, pois nesse caso as 7 letras ficariam fixas, e não 5. Sobra:

1\ \text{maneira (a troca)}

Em linguagem de combinatória, esse é o desarranjo de 2 elementos, $D_2 = 1$ .

Etapa 5. Os casos favoráveis:

n_{\text{favorável}} = C_{7,2} \times D_2 = 21 \times 1 = \mathbf{21}

Etapa 6. A probabilidade:

P = \frac{21}{5\,040}

Simplificando passo a passo:

\frac{21}{5\,040} = \frac{21 \div 3}{5\,040 \div 3} = \frac{7}{1\,680} = \frac{7 \div 7}{1\,680 \div 7} = \mathbf{\frac{1}{240}}

Ou, diretamente:

\frac{5\,040}{21} = 240 \;\Longrightarrow\; P = \frac{1}{240}

Etapa 7. O detalhe que a questão esconde:

Vale observar por que a questão pergunta por 5 letras fixas, e não por 6. Se 6 letras estiverem em suas posições originais, sobra uma única posição para uma única letra, e ela só pode ser a letra correta. Ou seja:

\text{exatamente 6 letras fixas} \;\Longrightarrow\; \text{impossível}

\text{o caso seguinte a 5 é o de 7 letras fixas, que é a própria palavra JANEIRO}

Esse é também o motivo pelo qual, no passo 4, a troca é a única alternativa: com 2 posições em jogo, ou as duas letras se cruzam, ou as duas ficam paradas.

Etapa 8. O panorama completo dos casos:

Contando as permutações de JANEIRO por número de letras fixas:

Letras fixas	Contagem	Valor
7	$C_{7,7} \cdot D_0 = 1 \times 1$	1
6	impossível	0
5	$C_{7,2} \cdot D_2 = 21 \times 1$	$\mathbf{21}$ $\checkmark$
4	$C_{7,3} \cdot D_3 = 35 \times 2$	70
3	$C_{7,4} \cdot D_4 = 35 \times 9$	315

P = \frac{21}{5\,040} = \frac{1}{240} \approx 0{,}42\%

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. Exigiria 260 como quociente de $5\,040$ pelos casos favoráveis, o que daria aproximadamente 19,4 casos, não inteiro.

B) Correta. $P = C_{7,2} \cdot D_2 / 7! = 21 / 5\,040 = 1/240$ .

C) Incorreta. Corresponderia a cerca de 21,9 casos favoráveis.

D) Incorreta. Corresponderia a cerca de 22,9 casos favoráveis.

E) Incorreta. Corresponderia a exatamente 24 casos favoráveis, valor que sairia de contar $C_{7,2}$ como 24, ou de multiplicar por um desarranjo maior que 1.

Conferindo a alternativa:
São 21 permutações com exatamente 5 letras fixas em um total de 5 040, o que dá 1/240, alternativa B.

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