FGV 2026.1Questão 3de 60O valor da expressão 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 – 8 + 9 + 10 + 11 – 12 + 13 +...+ 97 + 98 + 99 – 100 é

Lendo o padrão da expressão:

Os sinais não são aleatórios: a cada quatro números, os três primeiros são somados e o quarto é subtraído. Os números subtraídos são exatamente os múltiplos de 4: 4, 8, 12..., 100.

Etapa 1. Quantos blocos existem:

Cada bloco termina num múltiplo de 4, e o último é o 100:

Etapa 2. O valor de um bloco genérico:

Numerando os blocos por $k = 0, 1, 2, \ldots, 24$, o bloco $k$ é formado pelos números:

Abrindo e agrupando os termos com $k$ e os termos constantes:

Conferindo nos dois primeiros blocos:

Os valores dos blocos formam uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 8.

Etapa 3. Somando os 25 blocos:

A soma dos inteiros de 0 a 24:

Substituindo:

Etapa 4. A conferência por um caminho independente:

Vale refazer a conta somando tudo e descontando os múltiplos de 4 duas vezes (uma para anular a soma indevida, outra para efetivar a subtração):

A soma de 1 a 100:

A soma dos múltiplos de 4 até 100 (uma PA de 25 termos, de 4 a 100):

Substituindo:

Os dois caminhos independentes chegam ao mesmo valor.

Etapa 5. A soma pela média dos blocos:

Há ainda uma terceira via, útil como controle rápido. Os blocos formam a PA $2, 10, 18, \ldots, 194$, cuja soma é:

Analisando cada alternativa:

A) Incorreta. Fica 300 abaixo do valor correto.

B) Incorreta. Não corresponde a nenhuma das três formas de somar a expressão.

C) Correta. $S = 5\,050 - 2 \times 1\,300 = 2\,450$.

D) Incorreta. Não decorre da estrutura de 25 blocos de valor $8k + 2$.

E) Incorreta. O valor $2\,550$ é o que se obtém subtraindo os múltiplos de 4 uma só vez ($5\,050 - 1\,300 - \ldots$) ou por outro desconto incompleto: ele está exatamente 100 acima da resposta, indicando que um dos termos negativos não foi descontado por inteiro.

Conferindo a alternativa:
São 25 blocos de valor $8k + 2$, cuja soma é 2 450, alternativa C.