FGV 2026.2Questão 8de 60Considere um triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice A, tal que AB = 4 e AC = 2. Considere ainda a altura AD

MatemáticaRelações métricas no triângulo retângulo

Numeração da prova tipo 1.

Considere um triângulo retângulo ABC com ângulo reto no vértice A, tal que $AB = 4$ e $AC = 2$ . Considere ainda a altura AD relativa à hipotenusa.

O cosseno do ângulo CAD é:

Alternativa A: $4/\sqrt{5}$ .
Alternativa B, a correta: $2/\sqrt{5}$ .Resposta
Alternativa C: 1/2 .
Alternativa D: $\sqrt{5}/2$ .
Alternativa E: $\sqrt{5}/4$ .

Resolução do Jazz

O que a questão pede: o cosseno de $C\hat{A}D$ , em que $AD$ é a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo em $A$ com $AB = 4$ e $AC = 2$ .

Etapa 1. A hipotenusa:

BC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Etapa 2. A altura:

AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 2}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}

Etapa 3. O cosseno no triângulo $ADC$ :

O triângulo $ADC$ é retângulo em $D$ , com hipotenusa $AC = 2$ e cateto adjacente a $C\hat{A}D$ igual a $AD$ :

\cos C\hat{A}D = \frac{AD}{AC} = \frac{4/\sqrt{5}}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Conferindo: $C\hat{A}D$ e $\hat{C}$ são complementares no triângulo $ADC$ , assim como $\hat{B}$ e $\hat{C}$ no triângulo $ABC$ ; logo $C\hat{A}D = \hat{B}$ e $\cos \hat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$ . A alternativa A, $4/\sqrt{5}$ , é a medida da altura, não o cosseno.

Resposta: alternativa B.

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