Dois grupos de epidemiologistas estão modelando a variação sazonal do número de novos casos de uma virose em uma metrópole. Após a análise dos dados, o primeiro grupo propôs o modelo c_1(t) = 30 + 16 × (2 (t - 1/6 ) ) enquanto o segundo grupo chegou à função c_2(t) = 30 + A × (2 t) + B × sen(2 t) onde 0 t 1 representa o tempo, medido como fração de um ano. O Secretário de Saúde, ao analisar os relatórios, observou que, embora as expressões pareçam diferentes, os dois modelos são matematicamente idênticos para todo instante t. Considerando que as funções são idênticas (c_1(t) = c_2(t) para todo t) o valor de A é

FGV 2026.1Questão 6de 60Dois grupos de epidemiologistas estão modelando a variação sazonal do número de novos casos de uma virose

MatemáticaRelações métricas no triângulo retângulo

Numeração da prova tipo 1.

Dois grupos de epidemiologistas estão modelando a variação sazonal do número de novos casos de uma virose em uma metrópole. Após a análise dos dados, o primeiro grupo propôs o modelo

c_1(t) = 30 + 16 \cdot \cos\left(2\pi\left(t - \frac{1}{6}\right)\right)

enquanto o segundo grupo chegou à função

c_2(t) = 30 + A \cdot \cos(2\pi t) + B \cdot \operatorname{sen}(2\pi t)

onde $0 \le t \le 1$ representa o tempo, medido como fração de um ano.

O Secretário de Saúde, ao analisar os relatórios, observou que, embora as expressões pareçam diferentes, os dois modelos são matematicamente idênticos para todo instante $t$ .

Considerando que as funções são idênticas ( $c_1(t) = c_2(t)$ para todo $t$ ) o valor de $A$ é

Alternativa A, a correta: 8Resposta
Alternativa B: 9
Alternativa C: 10
Alternativa D: 11
Alternativa E: 12

Resolução do Jazz

Dados: $c_1(t) = 30 + 16\cos\!\bigl(2\pi(t-\tfrac{1}{6})\bigr)$ e $c_2(t) = 30 + A\cos(2\pi t) + B\operatorname{sen}(2\pi t)$ . Pede-se o valor de $A$ .

Expandindo o argumento do cosseno em $c_1(t)$ :

O argumento $2\pi\!\left(t - \dfrac{1}{6}\right)$ pode ser reescrito como:

2\pi\!\left(t - \frac{1}{6}\right) = 2\pi t - \frac{2\pi}{6} = 2\pi t - \frac{\pi}{3}

Logo:

c_1(t) = 30 + 16\cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{3}\right)

Aplicando a fórmula da diferença de arcos do cosseno:

A identidade trigonométrica de diferença é:

\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta

Identificando $\alpha = 2\pi t$ e $\beta = \dfrac{\pi}{3}$ :

\cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{3}\right) = \cos(2\pi t)\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + \operatorname{sen}(2\pi t)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)

Substituindo os valores exatos:

\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Portanto:

\cos\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{3}\right) = \cos(2\pi t)\cdot\frac{1}{2} + \operatorname{sen}(2\pi t)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

Substituindo de volta em $c_1(t)$ :

c_1(t) = 30 + 16\!\left[\cos(2\pi t)\cdot\frac{1}{2} + \operatorname{sen}(2\pi t)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right]

Distribuindo o fator $16$ :

c_1(t) = 30 + 16\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos(2\pi t) + 16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\operatorname{sen}(2\pi t)

c_1(t) = 30 + 8\cos(2\pi t) + 8\sqrt{3}\,\operatorname{sen}(2\pi t)

Identificando os coeficientes por comparação:

Como $c_1(t) = c_2(t)$ para todo $t$ , igualamos coeficiente a coeficiente:

30 + A\cos(2\pi t) + B\operatorname{sen}(2\pi t) = 30 + 8\cos(2\pi t) + 8\sqrt{3}\,\operatorname{sen}(2\pi t)

Comparando os coeficientes de $\cos(2\pi t)$ :

A = 8

Comparando os coeficientes de $\operatorname{sen}(2\pi t)$ (para completude):

B = 8\sqrt{3}

Conferindo a alternativa:

Nosso resultado é $A = 8$ . Percorrendo as opções:

A) $8$ , coincide exatamente com o valor obtido.
B) $9$ , C) $10$ , D) $11$ , E) $12$ , não correspondem.

O resultado $A = 8$ corresponde à alternativa A.

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