FGV 2026.2Questão 9de 60Considere 4 urnas nomeadas A, B, C, D e 4 bolas, também nomeadas A, B, C, D. Sorteia-se aleatoriamente uma bola

MatemáticaAnálise combinatória e probabilidade

Numeração da prova tipo 1.

Considere 4 urnas nomeadas A, B, C, D e 4 bolas, também nomeadas A, B, C, D. Sorteia-se aleatoriamente uma bola para cada urna.

A probabilidade de que exatamente 2 urnas tenham ficado com bolas cujos nomes sejam iguais ao nome da respectiva urna é

Alternativa A: 1/12.
Alternativa B: 1/8.
Alternativa C: 1/6.
Alternativa D, a correta: 1/4.Resposta
Alternativa E: 1/2.

Resolução do Jazz

O que a questão pede: a probabilidade de que, distribuindo 4 bolas em 4 urnas (uma por urna), exatamente 2 bolas caiam na urna de mesmo nome.

Etapa 1. Espaço amostral:

Cada distribuição é uma permutação das 4 bolas pelas 4 urnas:

4! = 24 \text{ casos igualmente prováveis}

Etapa 2. Casos favoráveis:

Primeiro escolhemos quais 2 urnas ficam com a bola certa: $\binom{4}{2} = 6$ modos. As outras 2 urnas não podem receber a própria bola, então as duas bolas restantes têm de trocar de lugar entre si: só 1 modo.

6 \cdot 1 = 6 \text{ casos favoráveis}

Etapa 3. Probabilidade:

P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}

Conferindo: contando todas as 24 permutações pelo número de acertos: 4 acertos em 1 caso; 3 acertos em 0 casos (se 3 estão certas, a quarta também está); 2 acertos em 6 casos; 1 acerto em $4 \cdot 2 = 8$ casos (escolhe a certa e desarranja as outras 3 de 2 modos); 0 acertos em 9 casos (desarranjos de 4). Soma: $1 + 0 + 6 + 8 + 9 = 24$ , fechando. Logo $P = 6/24 = 1/4$ .

Resposta: alternativa D.

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