Insper 2026.1Questão 28de 60Um bloco retangular foi dividido em dois prismas retos: um de base triangular e um de base trapezoidal, conforme mostra

MatemáticaPrismas

Um bloco retangular foi dividido em dois prismas retos: um de base triangular e um de base trapezoidal, conforme mostra a figura.

A diferença entre os volumes desses dois prismas é igual a:

Alternativa A: $64 \cdot (15 - 8\sqrt{3})$ cm³
Alternativa B: $48 \cdot (15 - 4\sqrt{3})$ cm³
Alternativa C: $48 \cdot (10 - 2\sqrt{3})$ cm³
Alternativa D, a correta: $32 \cdot (15 - 4\sqrt{3})$ cm³Resposta
Alternativa E: $32 \cdot (10 - 2\sqrt{3})$ cm³

Resolução do Jazz

A estratégia:

O prisma triangular é fácil de calcular. O trapezoidal é o que sobra do bloco.

Etapa 1. O triângulo da base:

É um triângulo retângulo com cateto vertical de 8 cm e ângulo de $30^\circ$ junto a ele. O cateto horizontal é:

8 \cdot \tan 30^\circ = \frac{8\sqrt3}{3} \text{ cm}

\text{área} = \frac12 \cdot 8 \cdot \frac{8\sqrt3}{3} = \frac{32\sqrt3}{3}

Etapa 2. Os volumes:

V_{\text{triangular}} = \frac{32\sqrt3}{3} \cdot 6 = 64\sqrt3 \qquad V_{\text{bloco}} = 10 \cdot 6 \cdot 8 = 480

V_{\text{trapezoidal}} = 480 - 64\sqrt3

Etapa 3. A diferença:

480 - 64\sqrt3 - 64\sqrt3 = 480 - 128\sqrt3 = 32 \cdot (15 - 4\sqrt3) \text{ cm}^3

A armadilha:

Usar o seno em vez da tangente. O ângulo de $30^\circ$ fica entre o cateto vertical e o corte, então o cateto oposto a ele é o horizontal: tangente.

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