Dada a constante real k, considere a função quadrática f: R R definida por f(x) = (3 - k) × x^2 + (3k - 5) × x + 11. Sabendo que o menor valor assumido por essa função ocorre para x = 1,3, a imagem de f é

Santa Casa 2026.2Questão 77de 80Dada a constante real k, considere a função quadrática f: R R definida por f(x) = (3 - k) × x^2 + (3k - 5) × x + 11

MatemáticaFunção quadrática

Numeração da versão 1.

Dada a constante real k, considere a função quadrática $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (3 - k) \cdot x^2 + (3k - 5) \cdot x + 11$ .

Sabendo que o menor valor assumido por essa função ocorre para x = 1,3, a imagem de f é

Alternativa A: $\{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5{,}5\}$ .
Alternativa B: $\{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -4{,}3\}$ .
Alternativa C: $\{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -5{,}1\}$ .
Alternativa D: $\{y \in \mathbb{R} \mid y \le 4{,}7\}$ .
Alternativa E, a correta: $\{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -5{,}9\}$ .Resposta

Resolução do Jazz

O que a questão pede: a imagem de $f$ , sabendo que o mínimo ocorre em $x = 1{,}3$ .

Passo 1. Abscissa do vértice:

x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{3k - 5}{2(3 - k)} = 1{,}3

-(3k - 5) = 2{,}6\,(3 - k) \Rightarrow -3k + 5 = 7{,}8 - 2{,}6k \Rightarrow -0{,}4k = 2{,}8 \Rightarrow k = -7

Passo 2. A função: $a = 3 - (-7) = 10 > 0$ (concavidade para cima, há mínimo, coerente) e $b = 3(-7) - 5 = -26$ .

f(x) = 10x^2 - 26x + 11

Passo 3. Valor mínimo:

f(1{,}3) = 10 \cdot 1{,}69 - 26 \cdot 1{,}3 + 11 = 16{,}9 - 33{,}8 + 11 = -5{,}9

Pela fórmula: $\Delta = 676 - 440 = 236$ e $y_V = -\frac{236}{40} = -5{,}9$ .

Com mínimo $-5{,}9$ , a imagem é $y \ge -5{,}9$ .

Conferindo as alternativas:
(A) Incorreta. " $y \le$ " indicaria máximo, mas a função tem mínimo.
(B) Incorreta. O mínimo não é $-4{,}3$ .
(C) Incorreta. O mínimo não é $-5{,}1$ .
(D) Incorreta. Também trata o vértice como máximo.
(E) Correta. $\{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -5{,}9\}$ .

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