Santa Casa 2026.2Questão 78de 80No plano, os pontos D, E, F e G estão sobre os lados do triângulo ABC, de modo que DEFG é um retângulo, e o ponto M é

MatemáticaRazões trigonométricas no triângulo retângulo

Numeração da versão 1.

No plano, os pontos D, E, F e G estão sobre os lados do triângulo ABC, de modo que DEFG é um retângulo, e o ponto M é médio da altura AH do triângulo relativamente ao vértice A, conforme mostra a figura.

A altura AH divide o retângulo DEFG nas regiões $R_1$ e $R_2$ , tal que a área de $R_2$ excede a área de $R_1$ em 960 $cm^2$ . Sabendo que $\text{tg}\,\alpha = \frac{5}{4}$ e que $\text{tg}\,\beta = \frac{5}{7}$ , a área do triângulo ADG é

Alternativa A, a correta: 1 760 $cm^2$ .Resposta
Alternativa B: 1 580 $cm^2$ .
Alternativa C: 1 620 $cm^2$ .
Alternativa D: 1 680 $cm^2$ .
Alternativa E: 1 440 $cm^2$ .

Resolução do Jazz

O que a questão pede: a área do triângulo ADG.

Passo 1. Altura do retângulo: como M é médio de AH e está sobre DG, chamando a altura do retângulo de $h$ , temos $DE = MH = h$ e $AH = 2h$ .

Passo 2. Larguras de $R_1$ e $R_2$ pelas tangentes:
No triângulo ABH: $BH = \frac{AH}{\text{tg}\,\alpha} = \frac{2h}{5/4} = \frac{8h}{5}$ . No triângulo DBE: $BE = \frac{h}{5/4} = \frac{4h}{5}$ . Logo $EH = \frac{4h}{5}$ .
No triângulo ACH: $HC = \frac{2h}{5/7} = \frac{14h}{5}$ . No triângulo GFC: $FC = \frac{7h}{5}$ . Logo $HF = \frac{7h}{5}$ .

Passo 3. Usar a diferença de áreas:

R_2 - R_1 = h \cdot \frac{7h}{5} - h \cdot \frac{4h}{5} = \frac{3h^2}{5} = 960 \Rightarrow h^2 = 1\,600 \Rightarrow h = 40\ \text{cm}

Passo 4. Área de ADG: base $DG = \frac{4h}{5} + \frac{7h}{5} = \frac{11h}{5} = 88\ \text{cm}$ e altura $AM = h = 40\ \text{cm}$ .

A = \frac{88 \cdot 40}{2} = 1\,760\ \text{cm}^2

Conferindo as alternativas:
(A) Correta. $\frac{88 \cdot 40}{2} = 1\,760\ \text{cm}^2$ .
(B) Incorreta. Não corresponde a base e altura corretas.
(C) Incorreta. Não corresponde a base e altura corretas.
(D) Incorreta. Não corresponde a base e altura corretas.
(E) Incorreta. Não corresponde a base e altura corretas.

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