FGV 2025.2Questão 10de 60Considere um poliedro convexo no qual, em cada vértice, incidem quatro arestas e todas as suas faces são ou triangulares

O que a questão pede: o número de faces triangulares de um sólido convexo com 4 arestas em cada vértice, só faces triangulares e quadradas, e exatamente 2 faces quadradas.

Chame de $t$ o número de faces triangulares, $V$ o de vértices, $A$ o de arestas e $F$ o de faces.

Passo 1. Contar as arestas pelas faces:
Cada aresta pertence a exatamente duas faces:

Passo 2. Contar as arestas pelos vértices:
Cada aresta liga dois vértices e em cada vértice chegam 4 arestas:

Passo 3. Relação de Euler ($V - A + F = 2$):
Com $F = t + 2$:

Passo 4. Juntar com o Passo 1:

Conferência: $A = 16$, $V = 8$, $F = 10$ e $8 - 16 + 10 = 2$. É o antiprisma de base quadrada: dois quadrados ligados por uma faixa de 8 triângulos.

Analisando cada alternativa:
A) Incorreta. Com $t = 6$ teríamos $2A = 26$ pelas faces e $A = 12$ por Euler, contradição.
B) Correta. $t = 8$ satisfaz as três relações ao mesmo tempo.
C) Incorreta. Com $t = 10$, $2A = 38$ pelas faces, mas Euler exige $A = 20$.
D) Incorreta. Com $t = 12$, $2A = 44$ pelas faces, mas Euler exige $A = 24$.
E) Incorreta. Com $t = 14$, $2A = 50$ pelas faces, mas Euler exige $A = 28$.