FGV 2025.2Questão 8de 60Dois times de basquete, A e B, vão disputar um “playoff melhor de 3”, isto é, eles vão jogar no máximo três partidas

MatemáticaProbabilidade

Numeração da prova tipo 1.

Dois times de basquete, A e B, vão disputar um “playoff melhor de 3”, isto é, eles vão jogar no máximo três partidas e o primeiro que ganhar duas partidas ganha o playoff. No jogo de basquete, não há empate. A primeira partida será disputada na quadra do time A e as outras duas partidas serão disputadas na quadra do time B. Quando joga em casa, isto é, na sua quadra, a probabilidade de o time A vencer é 3/5. Quando joga na casa do adversário, a probabilidade de o time A vencer é 1/3. Os resultados das partidas são independentes. A probabilidade de o time A ganhar o playoff é:

Alternativa A, a correta: 17/45.Resposta
Alternativa B: 16/45.
Alternativa C: 15/45.
Alternativa D: 14/45.
Alternativa E: 13/45.

Resolução do Jazz

Dados: playoff melhor de 3 (vence quem ganhar duas partidas, sem empate), 1ª partida na quadra de A e as outras duas na quadra de B; A vence em casa com probabilidade $\dfrac{3}{5}$ e fora com probabilidade $\dfrac{1}{3}$ , partidas independentes. Pede-se a probabilidade de A ganhar o playoff.

As probabilidades de cada partida:

Na 1ª partida (quadra de A):

P(\text{A vence}) = \dfrac{3}{5}

P(\text{A perde}) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}

Na 2ª e na 3ª partidas (quadra de B):

P(\text{A vence}) = \dfrac{1}{3}

P(\text{A perde}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}

Atenção: fora de casa quem tem vantagem é B. A perde na quadra de B com probabilidade $\dfrac{2}{3}$ , não $\dfrac{1}{3}$ .

Os caminhos em que A ganha o playoff:

A precisa de duas vitórias, e a série acaba assim que alguém chega a duas. Escrevendo V para vitória de A e D para derrota de A, na ordem das partidas, os caminhos são:

I) V, V: A vence as duas primeiras e a 3ª partida nem acontece.

II) V, D, V: A vence em casa, perde a 2ª e vence a 3ª.

III) D, V, V: A perde em casa e vence as duas na quadra de B.

Não há outro caminho: com duas derrotas antes da segunda vitória, quem fecha a série é B.

A probabilidade de cada caminho:

Como as partidas são independentes, a probabilidade de um caminho é o produto das probabilidades de suas partidas.

Caminho I:

P_{\text{I}} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{3}

P_{\text{I}} = \dfrac{3}{15}

P_{\text{I}} = \dfrac{9}{45}

Caminho II:

P_{\text{II}} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}

P_{\text{II}} = \dfrac{6}{45}

Caminho III:

P_{\text{III}} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}

P_{\text{III}} = \dfrac{2}{45}

Somando os caminhos:

Os três caminhos não podem acontecer ao mesmo tempo (são mutuamente exclusivos), então as probabilidades se somam:

P = P_{\text{I}} + P_{\text{II}} + P_{\text{III}}

P = \dfrac{9}{45} + \dfrac{6}{45} + \dfrac{2}{45}

P = \dfrac{17}{45}

Conferindo pelo complementar:

B ganha o playoff pelos caminhos D, D e V, D, D e D, V, D:

P(\text{B}) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}

P(\text{B}) = \dfrac{12}{45} + \dfrac{12}{45} + \dfrac{4}{45}

P(\text{B}) = \dfrac{28}{45}

E a soma fecha: $\dfrac{17}{45} + \dfrac{28}{45} = 1$ .

Conferindo a alternativa:

A) $\dfrac{17}{45}$ : soma dos três caminhos em que A chega a duas vitórias, confirmada pelo complementar. Correta.

B) $\dfrac{16}{45}$ : não corresponde a uma leitura coerente dos caminhos. Incorreta.

C) $\dfrac{15}{45}$ : é $\dfrac{9}{45} + \dfrac{6}{45}$ , esquecendo o caminho em que A perde em casa e vence as duas na quadra de B. Incorreta.

D) $\dfrac{14}{45}$ : sai de usar $\dfrac{1}{3}$ para a derrota de A na 2ª partida, como se B vencesse em casa com a mesma chance com que A vence fora: $\dfrac{9}{45} + \dfrac{3}{45} + \dfrac{2}{45}$ . Incorreta.

E) $\dfrac{13}{45}$ : não corresponde a uma leitura coerente dos caminhos. Incorreta.

O resultado, $\dfrac{17}{45}$ , corresponde à alternativa A.

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