FGV 2025.2Questão 6de 60Os números reais X, Y e Z têm média aritmética igual a 2. Além disso, os números X^2, Y^2 e Z^2 têm média aritmética

MatemáticaProdutos notáveis e fatoração

Numeração da prova tipo 1.

Os números reais X, Y e Z têm média aritmética igual a 2. Além disso, os números $X^2$ , $Y^2$ e $Z^2$ têm média aritmética igual a 6. A média aritmética dos números XY, XZ e YZ é:

Alternativa A: 1
Alternativa B: 2
Alternativa C, a correta: 3Resposta
Alternativa D: 4
Alternativa E: 5

Resolução do Jazz

Os números $X$ , $Y$ , $Z$ têm média aritmética $2$ ; $X^2$ , $Y^2$ , $Z^2$ têm média aritmética $6$ . Pede-se a média aritmética de $XY$ , $XZ$ , $YZ$ .

Traduzindo os dados:

\frac{X+Y+Z}{3} = 2 \Rightarrow X+Y+Z=6 \qquad \frac{X^2+Y^2+Z^2}{3} = 6 \Rightarrow X^2+Y^2+Z^2=18

Usando o quadrado da soma:

(X+Y+Z)^2 = X^2+Y^2+Z^2 + 2(XY+XZ+YZ)

6^2 = 18 + 2(XY+XZ+YZ) \Rightarrow 36-18 = 2(XY+XZ+YZ) \Rightarrow XY+XZ+YZ=9

Calculando a média pedida:

\frac{XY+XZ+YZ}{3} = \frac{9}{3} = 3

Verificação (caso particular): tomando $X=Y=Z=2$ (satisfaz $X+Y+Z=6$ , mas não $X^2+Y^2+Z^2=18$ , pois daria 12), então testando $X=4,Y=1,Z=1$ : soma $=6$ ✓, quadrados $=16+1+1=18$ ✓, produtos $=4+4+1=9$ , média $=3$ ✓.

Conferindo a alternativa:

$3$ corresponde exatamente à alternativa C.

Confere com o gabarito oficial preliminar da FGV. Ver o caderno da banca

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