FGV 2025.2Questão 4de 60Considere um triângulo ABC e seja M o ponto médio do lado BC. Sejam, ainda, N e P pontos sobre o lado AC tais

No triângulo $ABC$, $M$ é o ponto médio de $BC$, e $N$ e $P$ dividem o lado $AC$ em três partes iguais. Queremos a razão entre as áreas de $MNP$ e $ABC$.

Comparando o triângulo $AMC$ com o $ABC$:

Os triângulos $ABM$ e $AMC$ têm bases $BM$ e $MC$ iguais (pois $M$ é ponto médio) e a mesma altura, traçada de $A$ até a reta $BC$. Logo têm áreas iguais, e cada um vale metade do triângulo todo:

Comparando o triângulo $MNP$ com o $AMC$:

Tomando $AC$ como base, os triângulos $MAN$, $MNP$ e $MPC$ têm bases $AN$, $NP$ e $PC$ iguais (pois os três segmentos são iguais) e a mesma altura, traçada de $M$ até a reta $AC$. Os três têm, portanto, a mesma área, e cada um vale um terço do triângulo $AMC$:

Encadeando as duas relações:

Conferindo a alternativa:

A alternativa A traz $\frac{1}{12}$, a B traz $\frac{1}{9}$, a C traz $\frac{1}{8}$, a D traz $\frac{1}{6}$ e a E traz $\frac{1}{4}$. A razão $\frac{1}{6}$ corresponde à alternativa D.