Insper 2026.2Questão 23de 60Considere o gráfico que representa a função f(x) = _0,3(x-1), em que f(m) = 2, f(n) = 0 e f(p) = -2. O valor de mn/p é

MatemáticaFunção logarítmica

Numeração da versão 1.

Considere o gráfico que representa a função $f(x) = \log_{0,3}(x-1)$ , em que f(m) = 2, f(n) = 0 e f(p) = $-2$ .

O valor de $\frac{mn}{p}$ é igual a:

Alternativa A: $\frac{27}{50}$
Alternativa B: $\frac{27}{100}$
Alternativa C: $\frac{9}{100}$
Alternativa D: $\frac{27}{200}$
Alternativa E, a correta: $\frac{9}{50}$ Resposta

Resolução do Jazz

O que a questão pede: o valor de $\frac{mn}{p}$ , com $m$ , $n$ e $p$ tirados da definição de logaritmo.

Passo 1. Passar cada igualdade para a forma de potência: $\log_{0,3}(x - 1) = y$ equivale a $x - 1 = (0{,}3)^y$ .

f(m) = 2: \quad m - 1 = (0{,}3)^2 = 0{,}09 \quad\Rightarrow\quad m = 1{,}09 = \frac{109}{100}

f(n) = 0: \quad n - 1 = (0{,}3)^0 = 1 \quad\Rightarrow\quad n = 2

f(p) = -2: \quad p - 1 = (0{,}3)^{-2} = \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{100}{9} \quad\Rightarrow\quad p = \frac{109}{9}

Passo 2. Montar a expressão:

\frac{mn}{p} = \frac{\dfrac{109}{100} \cdot 2}{\dfrac{109}{9}} = \frac{109 \cdot 2}{100} \cdot \frac{9}{109} = \frac{18}{100} = \frac{9}{50}

Conferindo: em decimal, $m \cdot n = 2{,}18$ e $p \approx 12{,}11$ ; $2{,}18 \div 12{,}11 \approx 0{,}18 = \frac{9}{50}$ . A ordem $m < n < p$ bate com o gráfico, que é decrescente porque a base 0,3 é menor que 1.

Conferindo as alternativas: $\frac{9}{100}$ aparece para quem esquece o fator $n = 2$ ; as frações com 27 não saem dessa conta.

A armadilha: o erro mais provável é esquecer o " $-1$ " do logaritmando (usar $m = 0{,}09$ , $n = 1$ , $p = \frac{100}{9}$ ) ou calcular $(0{,}3)^{-2}$ como número negativo. Expoente negativo inverte a base, não muda o sinal.

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