Um dos lados de um retângulo mede 8 cm. Em seu interior, a circunferência _2 tangencia as circunferências _1 e _3. A circunferência _1 tangencia o retângulo em 3 pontos, a circunferência _3 tangencia o retângulo em 2 pontos e a circunferência _2 tangencia o retângulo em 1 ponto, conforme mostra a figura. Sabendo que o raio de _1 tem a mesma medida que o diâmetro de _2 e que o raio de _2 mede o dobro do raio de _3, o perímetro do retângulo, em cm, é igual a

Insper 2026.2Questão 25de 60Um dos lados de um retângulo mede 8 cm. Em seu interior, a circunferência _2 tangencia as circunferências _1 e _3

MatemáticaCírculo e circunferência

Numeração da versão 1.

Um dos lados de um retângulo mede 8 cm. Em seu interior, a circunferência $\lambda_2$ tangencia as circunferências $\lambda_1$ e $\lambda_3$ . A circunferência $\lambda_1$ tangencia o retângulo em 3 pontos, a circunferência $\lambda_3$ tangencia o retângulo em 2 pontos e a circunferência $\lambda_2$ tangencia o retângulo em 1 ponto, conforme mostra a figura.

Sabendo que o raio de $\lambda_1$ tem a mesma medida que o diâmetro de $\lambda_2$ e que o raio de $\lambda_2$ mede o dobro do raio de $\lambda_3$ , o perímetro do retângulo, em cm, é igual a

Alternativa A, a correta: $12\sqrt{2} + 26$ Resposta
Alternativa B: $16\sqrt{2} + 16$
Alternativa C: $16\sqrt{2} + 12$
Alternativa D: $12\sqrt{2} + 20$
Alternativa E: $16\sqrt{2} + 20$

Resolução do Jazz

O que a questão pede: o perímetro do retângulo, para o que falta o comprimento do lado maior.

Passo 1. Achar os raios: $\lambda_1$ toca o lado de cima, o de baixo e o da esquerda, então seu diâmetro é o lado de 8 cm.

r_1 = 4 \qquad r_2 = \frac{r_1}{2} = 2 \qquad r_3 = \frac{r_2}{2} = 1

Passo 2. Distância horizontal entre $O_1$ e $O_2$ : os centros estão a 4 cm e a 2 cm do lado de baixo, um desnível de 2 cm. Como as circunferências são tangentes, $O_1O_2 = 4 + 2 = 6$ . Por Pitágoras:

d_1^2 + 2^2 = 6^2 \quad\Rightarrow\quad d_1 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Passo 3. Distância horizontal entre $O_2$ e $O_3$ : desnível de $2 - 1 = 1$ cm e $O_2O_3 = 2 + 1 = 3$ .

d_2^2 + 1^2 = 3^2 \quad\Rightarrow\quad d_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Passo 4. Montar o lado maior: da esquerda para a direita, raio de $\lambda_1$ , as duas distâncias horizontais e raio de $\lambda_3$ .

L = 4 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 1 = 5 + 6\sqrt{2}

Passo 5. Perímetro:

2\,(8 + 5 + 6\sqrt{2}) = 26 + 12\sqrt{2}

Conferindo as alternativas: a parte com raiz tem de ser $2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ , o que elimina B, C e E. Entre A e D, a parte inteira é $2 \cdot (8 + 4 + 1) = 26$ : o lado de 8 cm mais os raios de $\lambda_1$ e de $\lambda_3$ nas pontas do lado maior.

A armadilha: o erro mais provável é somar os raios na horizontal, como se os três centros estivessem na mesma altura. Os centros estão em alturas diferentes (4, 2 e 1 cm do lado de baixo), então a distância entre eles é a hipotenusa, e a parte horizontal sai por Pitágoras.

Confere com o gabarito oficial preliminar do Insper. Ver o caderno da banca

Para se preparar com acompanhamento, o Jazz é um cursinho para o Insper e para a FGV, em turma pequena, com simulado no formato da banca toda semana.